قاعدة لايبنتز للتكامل

قاعدة لايبنتز للتكامل

قاعدة لايبنتز للتكامل هي قاعدة رياضياتية في حساب التفاضل والتكامل  سميت تيمنا بغوتفريد لايبنتز، والتي تقول أن كل تكامل على شاكلة:

$\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt,$

حيث أن  $-\mathrm{\infty }<a(x),b(x)<\mathrm{\infty }$ مشتقته  بالشكل التالي:

$\frac{d}{dx}(\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt)=f(x,b(x))\cdot \frac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\cdot \frac{d}{dx}a(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt,$

حيث آن المشتق الجزئي يدل على أن ما داخل التكامل يمكن الأخذ به عندما يكون المتغير f(x, t) x يعتبر في اتخاذ مشتق. لاحظ أنه إذا كان كلا من $a(x)$ و $b(x)$ ثوابت، بمعنى أنّ $a(x)\equiv a$ و $b(x)\equiv b$، فسنحصل على التعبير التّالي:

$\frac{d}{dx}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,t)dt)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt.$

حالة الأبعاد الثلاثة التي تعتمد على الزمن

الشكل 1: حقل متجه F(r, t) محددة في جميع أنحاء الفضاء, سطح Σ يحدها منحنى ∂Σ تتحرك مع سرعة v على حقل دمج.

ان قاعدة لايبنتز للأبعاد الثنائية هي:

$\frac{d}{dt}{\iint }_{\mathrm{\Sigma }(t)}\mathbf{F}(\mathbf{r},t)\cdot d\mathbf{A}={\iint }_{\mathrm{\Sigma }(t)}({\mathbf{F}}_t(\mathbf{r},t)+[\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}(\mathbf{r},t)]\mathbf{v})\cdot d\mathbf{A}-{\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}[\mathbf{v}\times \mathbf{F}(\mathbf{r},t)]\cdot d\mathbf{s},$

حيث أن:

F(r, t) هو حقل متجه في موقف المكاني r في الوقت t,

Σ هو سطح متنقل في مساحة ثلاثية يحدها منحنى مغلق ∂Σ ،

dA هو متجه عنصر من سطح Σ،

ds هو متجه عنصر من منحنى ∂Σ،

v هي سرعة الحركة من المنطقة Σ،

∇⋅ هو متجه الاختلاف،

× هو متجه عبر المنتج،

إن ضعف التكامل هي التكاملات السطحية على سطح Σ و خط متكامل على إحاطة منحنى ∂Σ.

الأبعاد العليا

يمكن تمديد قانون ليبنيز ليشمل تكاملات في أبعاد متعددة. تسمى في حالة البعدين والثلاثة بمجال ديناميات السوائل كما في نظرية رينولدز للنقل:

$\frac{d}{dt}{\int }_{D(t)}F(\overrightarrow{\mathbf{\text{x}}},t)dV={\int }_{D(t)}\frac{\partial }{\partial t}F(\overrightarrow{\mathbf{\text{x}}},t)dV+{\int }_{\partial D(t)}F(\overrightarrow{\mathbf{\text{x}}},t){\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}_b\cdot d\mathrm{\Sigma },$

انظر أيضًا

• قاعدة السلسلة
• قاعدة لايبنيز العامة

مزيد من القراءة

• Frederick S. Woods (1934). Advanced Calculus (ط. New). Ginn and Company. ASIN:B0006AMNBI.
• Frederick S. Woods (1926). Advanced Calculus (ط. 1st). Ginn and Company. ASIN:B00085L67S.
• David V. Widder (يوليو 1990). Advanced Calculus (ط. New). Dover Publications Inc. ISBN:978-0-486-66103-2.