متسلسلة ماكلورين

إذا كانت$x_0=0$ في متسلسلة تايلور، يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين. سميت السلسلة على اسم عالم الرياضيات الإسكتلندي كولين ماكلورين.

تعريف

إذا كانت الدالة الرياضية $f(x)$ قابلة للاشتقاق $n$ مرة في النقطة $x_0$ فإنه يمكن كتابتها كما يلي:

$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+R_n(x)$

إذا عوضت $n$ بلانهاية فإنه يُحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة $f$ أي أن الجزء $R_n(x)$ يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط $x$:

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$

أو

$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots$

إذا كانت $x_0=0$ في هذه المتسلسلة يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين:

$f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}(x)+\frac{f^{″}(0)}{2!}(x{)}^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}(x{)}^3+\cdots$

أمثلة

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots$

$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots$

$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots$

$\ln (x+1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots .$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\dots$

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\dots$

وصلات داخلية

• متسلسلة تايلور
• متسلسلة (رياضيات)
• كولين ماكلورين