اختبار المشتقة الثانية

في علم التفاضل، يعد اختبار المشتقة الثانية معيار ذا أهمية لمعرفة نوع النقطة الساكنة للدالة (عظمى، صغرى أم انقلاب) عند النقطة المعنية. ينص الفحص على أنه: إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق مرتين عند نقطة ساكنة xبمعنى أنه $f^{\prime }(x)=0$, فإن:

• إذا كانت $f^{\prime \prime }(x)<0$ فإن $f$ لها نهاية عظمى محلية عند $x$.
• إذا كانت $f^{\prime \prime }(x)>0$ فإن $f$ لها نهاية صغرى محلية $x$.
• إذا كانت $f^{\prime \prime }(x)=0$,لاينص اختبار المشتقة الثانية على شيء عن النقطة $x$, يمكن أن تكون نقطة انقلاب.

في الحالة الأخيرة، بالرغم من أن الدالة قد يكون لها قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية عند x, لأن الدالة «مسطحة» بما يكفي (أي أن $f^{\prime \prime }(x)=0$) القيم العظمى والصغرىتظل غير محسوسة بالاشتقاق الثاني. في حالة كهذه يفضل اختبار المشتقة الثالثة. النقطة عند $f^{\prime \prime }(x)=0$ تكون نقطة انقلاب إذا تغير تقعرها من أي من الجانبين. عل سبيل المثال, (0,0) هي نقطة انقلاب على $f(x)=x^3$ لأن $f^{\prime \prime }(0)=0$, و$f^{\prime \prime }(-1)<0$ و$f^{\prime \prime }(1)>0$.

مبرهنة اختبار المشتقة الثانية

لنفرض أن $f^{″}(x)>0$ (إثبات أن $f^{″}(x)<0$ متصلة). حينئذ

$0<f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x+h)-0}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x+h)}{h}.$

بالتالي، من أجلh صغيرة بما يكفي نحصل على

$\frac{f^{\prime }(x+h)}{h}>0$

ما يعني أن

$f^{\prime }(x+h)<0$ إذا كانت h < 0, و

$f^{\prime }(x+h)>0$ إذا كانت h > 0.

الآن، من اختبار المشتقة الأولى نعلم أن $f$ لها نقطة محلية صغرى عند $x$.

انظر أيضا

• الاشتقاق
• النقاط العظمى والصغرى
• نقطة انقلاب