نظام معادلات خطية

نظام خطي ذو ثلاث متغيرات، تحدد كل معادلة فيه مستوى. نقطة التقاطع هي حل هذا النظام.

في الرياضيات، نظام المعادلات الخطية (بالإنجليزية: System of linear equations)‏ هي مجموعة من المعادلات الخطية، تضم نفس المجموعة من المتغيرات. على سبيل المثال:

$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}3x& & +& & 2y& & -& & z& & =& & 1& \\ 2x& & -& & 2y& & +& & 4z& & =& & -2& \\ -x& & +& & \frac{1}{2}y& & -& & z& & =& & 0& \end{array}$

هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. حل نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:

$\begin{array}{rrr}x& =& 1\\ y& =& -2\\ z& =& -2\end{array}$

بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هذه القيم.

انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي.

الشكل العام

$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots +& & a_{1n}{x}_n& & =& & & b_1\\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots +& & a_{2n}{x}_n& & =& & & b_2\\ ⋮& & & & ⋮& & & & ⋮& & & & & ⋮\\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & a_{mn}{x}_n& & =& & & b_m.\\ \end{array}$

يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كمعادلات متجهة أو كمعادلات مصفوفة.

1. معادلات متجهة:

$x_1\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{m2}\end{array}\right]+\cdots +x_n\left[\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$

2. معادلات مصفوفة:

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$

هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي

• حسب المصفوفات غاوس,

[1]

• قاعدة كرامر، [2]
• طريقة التعويض.

مجموعة حلول المعادلتين x − y = −1 و 3x + y = 9 هي النقطة (2, 3).

مجموعة حلول معادلتين تحتويان على ثلاث متغيرات عادة ما تكون مستقيما.

خصائص

الاستقلالية

انظر إلى استقلال خطي.

المعادلات x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, و 4x + 3y = 7 are linearly dependent.

التناسق

المعادلتان 3x + 2y = 6 و 3x + 2y = 12 غير متناسقتين.

انظر إلى تناقض (منطق)

على سبيل المثال، المعادلتان

$3x+2y=6$ و $3x+2y=12$ غير متناسقتين.

التكافؤ

نقول عن نظام خطي انه متكافئ إذا وجدت قيمة عددية وحيدة لكل متغير من متغيراته

على سبيل المثال، المعادلتان

$3x+y=6$ و $3x+3y=12$ متكافئتان لأن $x=1,y=3$.

حلحلة النظام الخطي

هناك عدة خوارزميات تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية.

اقصاء المتغيرات

$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}x& & +& & 3y& & -& & 2z& & =& & 5& \\ 3x& & +& & 5y& & +& & 6z& & =& & 7& \\ 2x& & +& & 4y& & +& & 3z& & =& & 8& \end{array}$

$\begin{array}{rrrrrrrrrr}-4y& & +& & 12z& & =& & -8& \\ -2y& & +& & 7z& & =& & -2& \end{array}$

$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}x& & =& & 5& & +& & 2z& & -& & 3y& \\ y& & =& & 2& & +& & 3z& & & & & \\ z& & =& & 2& & & & & & & & & \end{array}$

تبسيط الصفوف

المقالة الرئيسية: حذف غاوسي

انظر إلى مصفوفة ممتدة.

قاعدة كرامر

المقالة الرئيسية: قاعدة كرامر

قاعدة كرامر هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

$\begin{array}{rrrrrrr}x& +& 3y& -& 2z& =& 5\\ 3x& +& 5y& +& 6z& =& 7\\ 2x& +& 4y& +& 3z& =& 8\end{array}$

تعطى بما يلي:

$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}5& 3& -2\\ 7& 5& 6\\ 8& 4& 3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 3& 5& 6\\ 2& 4& 3\end{array}\right|},y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1& 5& -2\\ 3& 7& 6\\ 2& 8& 3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 3& 5& 6\\ 2& 4& 3\end{array}\right|},z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 3& 5& 7\\ 2& 4& 8\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 3& 5& 6\\ 2& 4& 3\end{array}\right|}.$

طرق أخرى

طريقة الجمع

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

$\begin{array}{rrrrr}x& +& y& =& 3\\ x& -& y& =& 3\\ \end{array}$

نضرب المعادلة الأولى في 1- و نجمعها مع الثانية فنجد:

$-2y=-2$

أي أن:

$y=1$

الآن نعوض y بـ1 فنجد:

$x=2$

طريقة التعويض

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

$\begin{array}{rrrrr}x& +& y& =& 3\\ x& -& y& =& 1\\ \end{array}$

نأخذ $x=3-y$ فنجد :

$\begin{array}{rrrrr}3& -& 2y& =& 1\\ \end{array}$

أي :

$\begin{array}{rrrrr}y& =& \frac{3-1}{2}& =& 1\\ \end{array}$

نعوض قيمة y بـ 1 في المعادلة (1) فنجد :

$\begin{array}{rrr}x+1& =& 3\\ \end{array}$

أي أن :

$\begin{array}{rrrrr}x& =& 3-1& =& 2\\ \end{array}$

هكذا :

$x=2$ و $y=1$

الأنظمة المتجانسة

يقال عن نظام من المعادلات الخطية أنه متجانس إذا كانت جميع الحدود التي لا ترتبط بمتغيرات تساوي الصفر:

$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots +& & a_{1n}{x}_n& & =& & & 0\\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots +& & a_{2n}{x}_n& & =& & & 0\\ ⋮& & & & ⋮& & & & ⋮& & & & & ⋮\\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & a_{mn}{x}_n& & =& & & 0.\\ \end{array}$

مجموعة الحلول

علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة

انظر أيضا

• تبسيط الصفوف،
• المعادلات المترابطة،
• تفكيك المصفوفات،
• مربعات دنيا خطية.